Question

【题目】已知无穷数列，是公差分别为、的等差数列，记（），其中表示不超过的最大整数，即.

（1）直接写出数列，的前4项，使得数列的前4项为：2，3，4，5；

（2）若，求数列的前项的和；

（3）求证：数列为等差数列的必要非充分条件是.

Answer 1

【答案】（1）的前4项为1，2，3，4，的前4项为1，1，1，1；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）根据定义，选择，的前4项，尽量选用整数计算方便；（2）分别考虑，的前项的规律，然后根据计算的运算规律计算；（3）根据必要不充分条件的推出情况去证明即可.

（1）由的前4项为：2，3，4，5，选、的前项为正整数：的前4项为1，2，3，4，的前4项为1，1，1，1；

（2）将的前项列举出：；将的前项列举出：；

则；

（3）充分性：取，此时，将的前项列举出：，将前项列出：，此时的前项为：，显然不是等差数列，充分性不满足；必要性：设，，当为等差数列时，因为，所以 ，又因为，所以有：

，且，所以；，，

不妨令，则有如下不等式：；

当时，令，则当时，

，此时无解；

当时，令，则当时，

，此时无解；

所以必有：，故：必要性满足；

综上：数列为等差数列的必要非充分条件是