Question

19．求下列函数的值域．
（1）y=$\frac{2\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}+3}$；
（2）y=2x-3+$\sqrt{13-4x}$；
（3）y=$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$．

Answer 1

分析 （1）通过分离常数即可得到$y=2-\frac{10}{\sqrt{x}+3}$，从而由$\sqrt{x}+3≥3$即可求出该函数的值域；
（2）令$\sqrt{13-4x}=t$，t≥0，解出x=$\frac{13-{t}^{2}}{4}$，从而可将原函数变成$y=-\frac{1}{2}{t}^{2}+t+\frac{7}{2}$，从而求该二次函数在区间[0，+∞）上的值域即可；
（3）先求出该函数的定义域为[-1，1]，求y′，根据导数符号便可求出该函数在区间[-1，1]上的最值，再比较端点x=-1，和x=1时y的值即可得出该函数的值域．

解答 解：（1）$y=\frac{2（\sqrt{x}+3）-10}{\sqrt{x}+3}=2-\frac{10}{\sqrt{x}+3}$；
$\sqrt{x}+3≥3$；
∴$0＜\frac{10}{\sqrt{x}+3}≤\frac{10}{3}$；
∴$-\frac{4}{3}≤2-\frac{10}{\sqrt{x}+3}＜2$；
∴该函数的值域为$[-\frac{4}{3}，2）$；
（2）令$\sqrt{13-4x}=t$，t≥0，则x=$\frac{13-{t}^{2}}{4}$；
∴$y=-\frac{1}{2}{t}^{2}+t+\frac{7}{2}$；
该函数的对称轴为t=1；
∴t=1时，y_max=4；
∴y∈（-∞，4]；
即原函数的值域为（-∞，4]；
（3）该函数的定义域为[-1，1]，$y′=\frac{-x}{\sqrt{1+x}•\sqrt{1-x}•（\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}）}$；
∴x∈[-1，0）时，y′＞0，x∈（0，1]时，y′＜0；
∴x=0时原函数取最大值2，且x=-1，x=1时，y=$\sqrt{2}$；
∴原函数的值域为$[\sqrt{2}，2]$．

点评 考查分离常数求函数值域的方法，不等式的性质，换元去根号的方法求函数的值域，以及根据函数导数符号求函数在闭区间上的最值，从而得出该函数值域的方法，注意正确求导．