Question

9．如图1，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=$\frac{π}{2}$，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图2）
（1）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值．
（2）当f（x）取最大值时，是否有BD⊥EG，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直性质定理证出AE⊥面EBCF，求出以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积，利用二次函数的图象与性质可得当x=2时，即AE=2时函数有最大值；
（2）作DH⊥EF于H，连BH，GH．由面面垂直性质定理，证出DH⊥平面EBCF，从而得到EG⊥DH．由正方形BGHE中，EG⊥BH且BH∩DH=H，可得EG⊥平面DBH，从而证出BD⊥EG；

解答 解：（1）∵AE⊥EF，面AEFD⊥面EBCF，面AEFD∩面EBCF=EF
∴AE⊥面EBCF
由题意可得$f（x）=\frac{1}{3}{S}_{△BFC}•AE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4•（4-x）•x=\frac{1}{3}（-2{x}^{2}+8x），0＜x＜4$
所以当$x=2时，f（x）最大为\frac{8}{3}$
（2）证明：作DH⊥EF，交EF于H，连结BH，HG，
因为面AEFD⊥面EBCF，所以DH⊥面BECF．
又EG?面BEFC，所以DH⊥EG，
又x=2时，BE=EH=BG=2．
故四边形BEHG为正方形．
所以BH⊥EG，所以EG⊥面BHD．
又因BD?面BHD，所以BD⊥EG．

点评 本题给出平面图形的翻折问题，在所得几何体中证明线线垂直并求三棱锥体积的最大值，着重考查了空间线面垂直、面面垂直的判定与性质、锥体体积和二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．