Question

已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，
求面积的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，
所以，                                     ……………1分
又椭圆的离心率为，即，所以，       ………………2分
所以，.                                       ………………4分
所以，椭圆的方程为.                     ………………5分
（Ⅱ）方法一：不妨设的方程，则的方程为.
由得，           ………………6分
设，，
因为，所以，                    ………………7分
同理可得，                                    ………………8分
所以，，       ………………10分
，                     ………………12分
设，
则，                             ………………13分
当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.                             ………………14分
方法二：不妨设直线的方程.
由 消去得，      ………………6分
设，，
则有，.   ①                 ………………7分
因为以为直径的圆过点，所以.
由 ，
得 .                               ………………8分
将代入上式，
得.
将 ① 代入上式，解得 或（舍）.               ………………10分
所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），
所以
.   ……………12分
设，
则.
所以当时，取得最大值.                ……………14分

略