Question

1．如图，三棱柱中ABC-A₁B₁C₁中，点A₁在平面ABC内的射影D为棱AC的中点，侧面A₁ACC₁为边长为2的菱形，AC⊥CB，BC=1．
（Ⅰ）证明：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求二面角B-A₁C-B₁的大小．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理即可得到结论．
（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 解：（1）由题意得A₁D⊥平面ABC，
∴平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
∵平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，CA⊥CB
∴BC⊥平面A₁ACC₁
∴BC⊥AC₁------------------2
连接A₁C
∵侧面A₁ACC₁为菱形
∴A₁C⊥AC₁，-------------------4
∴AC₁⊥平面A₁BC，-------------------
（2）直角三角形A₁AD中，
∵AA₁=2，AD=1，∴A₁D=$\sqrt{3}$，-------------6
过C作CM∥A₁D交A₁C₁于M点，
分别以C为坐标原点，以CA，CB，CM的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
则C（0，0，0），B（0，1，0），D（1，0，0），A（2，0，0），A₁（1，0，$\sqrt{3}$），
由$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{C{C}_{1}}$，得C₁（-1，0，$\sqrt{3}$），∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，$\sqrt{3}$），
由$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{B{B}_{1}}$得B₁（-1，1，$\sqrt{3}$），∴$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（-1，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（1，0，$\sqrt{3}$），--------8
设平面A₁B₁C的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{-x+y+\sqrt{3}z=0}\\{x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，解得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$，1）----------------------10
由题得$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，$\sqrt{3}$）为平面A₁BC的一个法向量，-----------11
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{3+12+1}•\sqrt{9+3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
则＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{π}{3}$．
因此二面角B-A₁C-B₁的大小为$\frac{π}{3}$．------------12

点评 本题主要考查线面垂直判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．