Question

16．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=$\sqrt{2}$BB₁，则AB₁与C₁B所成的角的余弦值0．

Answer 1

分析 利用向量加法的三角形法则，可将AB₁与C₁B的方向向量分别用三棱柱的棱对应的向量表示，进而设BB₁=1，AB=$\sqrt{2}$，分析出两向量数量积为0，互相垂直，得到余弦值．

解答 解：∵AB=$\sqrt{2}$BB₁，设BB₁=1，AB=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{{C}_{1}B}$=（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}_{1}}）•（\overrightarrow{{C}_{1}C}+\overrightarrow{CB}）$$（\overrightarrow{{C}_{1}{C}_{\;}}+\overrightarrow{CB}）$
=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{C{C}_{1}}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CB}-{\overrightarrow{B{B}_{1}}}^{2}+\overrightarrow{B{B}_{1}}•\overrightarrow{CB}$=0+$\sqrt{2}×\sqrt{2}×cos60°$-1+0=0
∴直线AB₁与C₁B所成角为90°，
所以AB₁与C₁B所成的角的余弦值为0；
故答案为：0．

点评 本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中利用向量法将空间直线夹角转化为向量夹角是解答的关键．