Question

19．在△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，B=$\frac{π}{3}$，且b=3$\sqrt{3}$，a=2
（1）求sin2A；
（2）求边c的长．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理与倍角公式即可得出；
（2）利用余弦定理即可得出．

解答 解：（1）由$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，得sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{2sin\frac{π}{3}}{3\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$．
∵a＜b，∴A＜B，则cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴sin2A=2sinAcosA=$2×\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．
（2）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∴c²-2c-23=0，
解得c=1+2$\sqrt{6}$，
故S_△ABC=$\frac{1}{2}ac$sinB=$\frac{\sqrt{3}+6\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．