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    7．在△ABC中，c（cosA+cosB）=a+b，试判断三角形的形状．

    分析 利用三角形中，sinB=sin（A+C）可求得sinB=sinAcosC+cosAsinC，与已知sinA+sinB=sinC•（cosA+cosB）联立，可求得cosC（sinB+sinA）=0，从而可判断△ABC的形状．

    解答 解：∵sinB=sin[180°-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
    又∵c（cosA+cosB）=a+b，
    ∴利用正弦定理可得：sinA+sinB=sinC•（cosA+cosB），
    ∴sinA+sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA+sinCcosB，
    ∴sinA=sinCcosB-sinAcosC，
    在△ABC中，sinA=sin（B+C），
    ∴sin（B+C）=sinCcosB-sinAcosC，即sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB-sinAcosC，
    ∴cosC（sinB+sinA）=0，
    ∵sinB＞0，sinA＞0，
    ∴cosC=0，
    ∴a2+b2=c2，
    ∴△ABC是直角三角形．

    点评 本题考查三角形的形状判断，着重考查两角和的正弦，求得cosC（sinB+sinA）=0是转化的关键，属于中档题．

    练习册系列答案
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