Question

已知函数f（x）=x²+bx+c为偶函数，关于x的方程f（x）=a（x+1）2（a≠1）的根构成集合{1}．
（1）求a，b，c的值；
（2）求证：

f(x)

≤

5 -1

2

|x|+1对任意的x∈[-2，2]恒成立；
（3）设g（x）=

f(x)

+

f(2-x)

若存在x₁，x₂∈[0，2]，使得|g（x₁）-g（x₂）|≥m，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的性质,二次函数的性质

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f（-x）=f（x）得x²-bx+c=x²+bx+c，解得b=0，又f（x）=a（x+1）²只有一个根1，即（a-1）x²+2ax+a-c=0只有一个根1，利用判别式即可求出a，c；
（2）根据偶函数性质将所证问题等价转化为

x2+1

≤

5 -1

2

x+1对任意的x∈[0，2]恒成立，构造函数h（x）=（

5 -1

2

x+1）²-（x²+1），利用二次函数性质得出（

5 -1

2

x+1）²≥（x²+1）＞0，开方即可得证；
（3）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得|g（x₁）-g（x₂）|≥m，等价于|g（x₁）-g（x₂）|_max≥m，由（2）和题目条件可得

f(x)

≥

2

2

(x+1)和

f(x)

≤

5 -1

2

x+1，从而可得2

2

≤g(x)≤

5

+1，因此|g（x₁）-g（x₂）|_max=

5

+1-2

2

，所以可求出实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+bx+c为偶函数，
∴f（-x）=f（x），即x²-bx+c=x²+bx+c，解得b=0；
又f（x）=a（x+1）²只有一个根1，即x²+c=a（x+1）²只有一个根1，
即（a-1）x²+2ax+a-c=0只有一个根1，又a≠1，
∴

△=4a2-4(a-1)(a-c)=0 (a-1)+2a+a-c=0

，解得

a= 1 2 c=1

，
∴a=

1

2

，b=0，c=1．
（2）∵f（x）为偶函数，
∴

f(x)

≤

5 -1

2

|x|+1对任意的x∈[-2，2]恒成立等价于

f(x)

≤

5 -1

2

|x|+1对任意的x∈[0，2]恒成立，
即

f(x)

≤

5 -1

2

x+1对任意的x∈[0，2]恒成立，
即

x2+1

≤

5 -1

2

x+1对任意的x∈[0，2]恒成立，
令h（x）=（

5 -1

2

x+1）²-（x²+1）=-

5 -1

2

x2+(

5

-1)x
=

5 -1

2

(-x2+2x)，
由二次函数性质易知在，
在[0，2]上h（x）≥g（0）=g（2）=0，
∴（

5 -1

2

x+1）²≥（x²+1）＞0，
∴即

x2+1

≤

5 -1

2

x+1，
从而问题得证；
（3）由题意可知，|g（x₁）-g（x₂）|_max≥m，
∵f（x）=x²+1≥

1

2

(x+1)2，
∴

f(x)

≥

2

2

(x+1)，
又由（2）得

f(x)

≤

5 -1

2

x+1，
∴

2

2

(x+1)+

2

2

(2-x+1)≤g(x)≤

5 -1

2

x+1+

5 -1

2

(2-x）+1
即2

2

≤g(x)≤

5

+1，
∴|g（x₁）-g（x₂）|_max=

5

+1-2

2

即m≤

5

+1-2

2

∴实数m的取值范围是（-∞，

5

+1-2

2

）．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查函数奇偶性的应用，数学的转化思想方法，属于压轴题，难题．