Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（log₂x）=x+

a

x

，a为常数．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）如果f（x）为偶函数，求a的值；
（3）如果f（x）为偶函数，用函数单调性的定义讨论f（x）的单调性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用换元法求函数f（x）的表达式；
（2）利用f（-x）=f（x）恒成立，依此可构造出a的方程，解之即可；
（3）遵循“取值、作差、判断符号下结论”的步骤证明单调性．

解答： 解：（1）令log₂x=t，则x=2^t．
∴f（t）=2^t+

a

2t

．
∴f（x）=2^x+

a

2x

（x∈R）．
（2）由f（-x）=f（x），则2^-x+

a

2-x

=2^x+

a

2x

对任意的x∈R恒成立，
化简得（2^x-2^-x）（1-a）=0对x∈R均成立．
∴1-a=0，即a=1．
（3）当a=1时，f（x）=2^x+

1

2x

，
设0≤x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=2x1+

1

2x1

-（2x2+

1

2x2

）
=（2x1-2x2）（1-

1

2x1+x2

），
∵2x1-2x2＜0，1-

1

2x1+x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
即f（x₁）＜f（x₂）．
因此f（x）在区间[0，+∞）上是增函数．
同理当x₁＜x₂＜0时，
f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在区间（-∞，0）上是减函数．

点评：本题考查利用函数的奇偶性求待定系数的值以及利用函数单调性的定义如何证明函数的单调性．