Question

在平面直角坐标系中，定义点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）之间的“直角距离”为L（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，已知点A（x，1）、B（1，2）、C（5，2）三点．
（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；
（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．

Answer 1

考点：两点间距离公式的应用,函数恒成立问题

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（1）根据定义写出L（A，B），L（A，C）的表达式，最后通过解不等式求出x的取值范围；
（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立即当x∈R时，不等式|x-1|≤|x-5|+t恒成立，运用分离变量，即有t≥|x-1|-|x-5|恒成立，可用绝对值不等式的性质，求得右边的最大值为4，令t不小于4即可．

解答： 解：（1）由定义得|x-1|+1＞|x-5|+1，
即|x-1|＞|x-5|，两边平方得8x＞24，
解得x＞3；
（2）当x∈R时，不等式|x-1|≤|x-5|+t恒成立，
也就是t≥|x-1|-|x-5|恒成立，
因为|x-1|-|x-5|≤|（x-1）-（x-5）|=4，所以t≥4，t_min=4．
故t的最小值为：4．

点评：本题考查新定义：直角距离的理解和运用，考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，属于中档题．