Question

已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为1的正方形．AA₁=2，∠A₁AB=∠A₁AD=120°．
（1）求线段AC₁的长；
（2）求异面直线AC₁与A₁D所成角的余弦值；
（3）证明：AA₁⊥BD．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的性质,点、线、面间的距离计算

专题：空间向量及应用

分析：（1）利用数量积运算性质即可得出．
（2）利用向量夹角公式即可得到结论．
（3）利用向量法证明

AA1

•

BD

=0即可．

解答： 解：（1）设

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

，
则

AC1

=

a

+

b

+

c

，

a

•

c

=

b

•

c

=2cos120°=-1，
则|

AC1

|=

( a + b + c )2

=

a 2+ b 2+ c 2+2 a • b +2 b • a +2 c• a

=

1+1+4-2-2

=

2

．
（2）∵

A1D

=

b

-

c

，
∴|

A1D

|=|

b

-

c

|=

b 2-2 b • c + c 2

=

7

，

A1D

•

AC1

=（

b

-

c

）•（

a

+

b

+

c

）=

a

•

b

+

b

2-

a

•

c

-

c

2=-2，
cos＜

A1D

，

.

AC1

＞=

A1D • AC1

| A1D |•| AC1 |

=

-2

7 × 2

=-

14

7

，

故异面直线AC₁与A₁D所成角的余弦值为-

14

7

．
（3）

BD

=

b

-

a

，
则

AA1

•

BD

=

c

•（

b

-

a

）=

c

•

b

-

c

•

a

=-1-(-1)=0，
故

AA1

⊥

BD

，
即AA₁⊥BD．

点评：本题考查了向量的平行六面体法则、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了空间想象能力，考查了计算能力，属于中档题．