Question

设函数f（x）=x⁵+x+sinx，x∈R，则不等式f（x²-2）+f（x）＜0的解集是

 

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Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：运用导数判断函数的单调性，再由奇偶性的定义判断奇偶性，不等式f（x²-2）+f（x）＜0即为f（x²-2）＜-f（x）=f（-x），即有x²-2＜-x，解不等式即可得到解集．

解答： 解：函数f（x）=x⁵+x+sinx的导数为：
f′（x）=5x⁴+1+cosx≥0，
则f（x）在R上递增，
又f（-x）=-x⁵-x+sin（-x）=-（x⁵+x+sinx）=-f（x），
则f（x）为奇函数，
则不等式f（x²-2）+f（x）＜0即为f（x²-2）＜-f（x）=f（-x），
即有x²-2＜-x，解得，-2＜x＜1．
则解集为（-2，1）．
故答案为：（-2，1）．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．