Question

已知函数y=

2-x 2+x

+

2x-2

的定义域为M．
（1）求M；
（2）当x∈M时，求函数f（x）=log₂x•log₂（x²）+alog₂x的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数的定义域及其求法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意得，

2+x≠0 2-x 2+x ≥0 2x-2≥0

，从而解得；
（2）f（x）=log₂x•log₂（x²）+alog₂x=2（log₂x）²+alog₂x=2（log₂x+

a

4

）²-

a2

8

；讨论求函数的最小值．

解答： 解：（1）由题意得，

2+x≠0 2-x 2+x ≥0 2x-2≥0

，
解得，1≤x≤2；
故M=[1，2]；
（2）f（x）=log₂x•log₂（x²）+alog₂x
=2（log₂x）²+alog₂x
=2（log₂x+

a

4

）²-

a2

8

；
∵x∈[1，2]；
∴log₂x∈[0，1]；
①当

a

4

≥0，即a≥0时，
f_min（x）=f（1）=0；
②当-1＜

a

4

＜0，即-4＜a＜0时，
f_min（x）=f（-

a

4

）=-

a2

8

；
③当

a

4

≤-1，即a≤-4时，
f_min（x）=f（2）=2+a．

点评：本题考查了函数的定义域及函数的最值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．