Question

证明：向量

OA

，

OB

，

OC

的终点A，B，C共线，则存在实数λ，μ，且λ+μ=1，得：

OC

=λ

OA

+μ

OB

；反之，也成立．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：可以从两个方面进行求证，首先，根据向量

OA

，

OB

，

OC

的终点A，B，C共线，得到A、B、C三点共线，然后，再证明λ+μ=1，最后，从

OC

=λ

OA

+μ

OB

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，入手，证得三点共线．

解答： 证明：∵向量

OA

，

OB

，

OC

的终点A，B，C共线，
∴A、B、C三点共线，
设

BC

=p

BA

，则

OC

-

OB

=p（

OA

-

OB

），

OC

=p

OA

+（1-p）

OB

，
令λ=p，μ=1-p
那么λ+μ=1，
反之，

OC

=λ

OA

+μ

OB

=λ

OA

+（1-λ）

OB

=λ（

OA

-

OB

）+

OB

所以

OC

-

OB

=λ（

OA

-

OB

）
所以

BC

=λ

BA

，即A、B、C三点共线．

点评：本题重点考查了共线条件、向量的基本运算等知识，属于中档题．