Question

【题目】已知圆：，其圆心在抛物线：上，圆过原点且与抛物线的准线相切.

（1）求抛物线的方程；

（2）若过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，过点且垂直于直线的直线交抛物线的准线于点.求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由题意可知：，求解可得抛物线方程；

（2）分两种情况求解：①当动弦所在的直线斜率不存在时，易得；②当动弦所在的直线斜率存在时，设所在直线方程为，且，，联立，由弦长公式及韦达定理表示出；又所在的直线方程为，可求得点，计算求其范围即可.

（1）由题意可知：，

解得，所以抛物线的标准方程为.

（2）①当动弦所在的直线斜率不存在时，易得，；

②当动弦所在的直线斜率存在时，易知的斜率不为0，

设所在直线方程为，且，，

联立方程组，消去得；

∴，，且；

∴；

所在的直线方程为，

联立方程组，求得点，∴，

∴；综上所述，的最小值为2.