Question

【题目】已知椭圆的离心率为，抛物线与椭圆相交所得的线段长为3，椭圆的左、右焦点分别为，，动点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与的另一个交点为，过，分别作直线的垂线，垂足为，，与轴的交点为.若，，的面积成等差数列，求直线斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由椭圆，抛物线的对称性得出点在椭圆上，代入椭圆方程，结合离心率，即可得出椭圆方程；

（2）设直线的方程为，并与椭圆方程联立，由韦达定理得出，，设，，的面积分别为，，，由等差数列的性质得出，结合三角形面积公式以及梯形面积公式，整理得出，进而得出，由得出，即可得出直线斜率的取值范围.

（1）由题意可知，抛物线与椭圆相交所得弦长为3

由，得

∴点在椭圆上，∴①

又，∴，∴②

由①②联立，解得，，所以椭圆的方程为.

（2）依题意，直线与轴不重合，故可设直线的方程为，

由消去得：，

设，，则有且，.

设，，的面积分别为，，

因为，，成等差数列，所以，即，

则，

即，得，

又，，于是，

所以，由得，解得，

设直线的斜率为，则，所以，

解得或

所以直线斜率的取值范围是.