Question

1．如图，已知抛物线C：x²=2py（p＞0），圆Q：x²+（y-3）²=8，过抛物线C的焦点F且与x轴平行的直线与C交于P₁，P₂两点，且|P₁P₂|=4．
（1）证明：抛物线C与圆Q相切；
（2）直线l过F且与抛物线C和圆Q依次交于M，A，B，N，且直线l的斜率k∈（0，1），求$\frac{|AB|}{|MN|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点，可得P₁P₂|=2p=4，可得抛物线的方程，联立抛物线的方程和圆的方程，消去x，由判别式为0，即可得证；
（2）求出F的坐标和直线l的方程，求出圆心到直线的距离，运用弦长公式可得|AB|，再联立直线和抛物线的方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得|MN|，求出$\frac{|AB|}{|MN|}$关于t的关系式，运用换元法和导数，结合单调性，即可得到所求范围．

解答 解：（1）证明：抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F（0，$\frac{p}{2}$），
令y=$\frac{p}{2}$，可得|P₁P₂|=2p=4，解得p=2，
即有抛物线C的方程为x²=4y，
联立x²=4y和x²+（y-3）²=8，
消去x，可得y²-2y+1=0，
由判别式为4-4=0，可得抛物线C与圆Q相切；
（2）由（1）可得F（0，1），直线l的方程为y=kx+1，k∈（0，1），
圆心Q（0，3）到直线l的距离为d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
可得|AB|=2$\sqrt{8-{d}^{2}}$=4$\sqrt{2-\frac{1}{1+{k}^{2}}}$；
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由x²=4y和y=kx+1，可得y²-（4k²+2）y+1=0，
则y₁+y₂=2+4k²，
|MN|=y₁+y₂+2=4（4k²+1），
则$\frac{|AB|}{|MN|}$=$\frac{\sqrt{2-\frac{1}{1+{k}^{2}}}}{1+{k}^{2}}$，0＜k＜1，
设t=$\frac{1}{1+{k}^{2}}$∈（$\frac{1}{2}$，1），
则$\frac{|AB|}{|MN|}$=t$\sqrt{2-t}$=$\sqrt{2{t}^{2}-{t}^{3}}$，
设f（t）=2t²-t³（$\frac{1}{2}$＜t＜1），
f′（t）=4t-3t²，
由$\frac{1}{2}$＜t＜1，可得f′（t）＞0，
即有f（t）在（$\frac{1}{2}$，1）递增，
则f（t）∈（f（$\frac{1}{2}$），f（1）），
即为$\frac{3}{8}$＜f（t）＜1，
可得$\frac{|AB|}{|MN|}$的取值范围为（$\frac{\sqrt{6}}{4}$，1）．

点评 本题考查抛物线与圆的位置关系，注意运用联立方程，以及判别式为0，考查直线和抛物线的位置关系，注意运用联立方程组，运用韦达定理和抛物线的定义，以及直线和圆的位置关系，注意运用弦长公式，考查运算能力，属于中档题．