Question

在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x²+y²-8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：化圆C的方程为（x-4）²+y²=1，求出圆心与半径，由题意，只需（x-4）²+y²=4与直线y=kx+2有公共点即可．

解答： 解：圆C的方程为x²+y²-8x+15=0即 圆C的方程为（x-4）²+y² =1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；
又直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
∴只需圆C′：（x-4）²+y²=4与直线y=kx+2有公共点即可．
设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=

|4k+2|

1+k2

≤2，即3k²≤-4k，
求得-

4

3

≤k≤0，故k的最小值是-

4

3

，
故答案为：-

4

3

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x-4）²+y²=4与直线y=kx+2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，体现了转化的数学思想，是中档题．