Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

m

=（c，cosC），

n

=（a，sinA），且

m

∥

n

．
（1）求角C的大小；
（2）求

3

sinA-cos（B+

π

4

）的最大值，并求取最大值时角A，B的大小．

Answer 1

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）根据平面向量的坐标运算，利用正弦定理，求出C的值；
（2）根据三角函数的恒等变换，把三角函数式化为一个角的三角函数，求出最值以及对应的角度来．

解答： 解：（1）∵

m

=（c，cosC），

n

=（a，sinA），且

m

∥

n

，
∴csinA-acosC=0，
由正弦定理得，sinCsinA-sinAcosC=0；
∵0＜A＜π，
∴sinA＞0，
∴sinC-cosC=0，
又cosC≠0，
∴tanC=1，
∴C=

π

4

；
（2）由（1）知，B=

3

4

π-A，
∴

3

sinA-cos（B+

π

4

）=

3

sinA-cos（π-A）
=

3

sinA+cosA
=2sin（A+

π

6

）；
∵0＜A＜

3π

4

，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

11π

12

；
∴当A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

时，
2sin（A+

π

6

）取最大值2；
综上所述，

3

sinA-cos（B+

π

4

）的最大值为2，此时A=

π

3

，B=

5π

12

．

点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了三角函数的化简与恒等变换问题，是综合题目．