Question

（本题满分12分）在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E为CC₁的中点．

（1）求证：AC₁∥平面BDE；（2）求异面直线A₁E与BD所成角。

 

Answer 1

【答案】

（1）连结AC交BD于O，连接EO因为平行四边形ABCD，

由OE为△AC₁C中位线，得出OE∥AC₁；从而AC₁∥面BDE。

（2）先证BD⊥面A₁AC C₁

证得BD⊥A₁E，A₁E与BD所成角为90⁰。

【解析】

试题分析：（1）连结AC交BD于O，连接EO因为平行四边形ABCD，

所以O为BD中点，E为CC₁中点

所以OE为△AC₁C中位线，

所以OE∥AC₁-----------3

OE面BDE

AC₁面BDE

AC₁∥面BDE------------6

（2）因正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁

所以BD⊥A₁A，又因BD⊥AC

A₁A∩AC="A" ，A₁A 面A₁AC C₁

B

AC面A₁AC C₁

所以BD⊥面A₁AC C₁                           --------9

A₁E面A₁AC C₁

所以BD⊥A₁E-

A₁E与BD所成角为90⁰------12

考点：本题主要考查立体几何的线面垂直，异面直线所成角的计算，几何体的特征。

点评：本题通过考查直线与平面的垂直关系及异面直线所成角的计算，考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化思想，函数与方程思想等．本题中异面直线所成角的确定，通过证明线面垂直完成，值得深思。属中档题。