Question

14．设命题p：实数x满足$\frac{x-a}{x-3a}$＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6＜0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）命题p：a=1时，由$\frac{x-1}{x-3}$＜0，化为：（x-1）（x-3）＜0，解出即可得出．命题q：实数x满足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6＜0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$，化为：$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）（x+2）＜0}\\{（x+4）（x-2）＞0}\end{array}\right.$，解得x范围．由p∧q为真，可得命题p与q都为真命题．
（2）由（1）可得：命题q：实数x满足：2＜x＜3．命题p：实数x满足$\frac{x-a}{x-3a}$＜0，其中a＞0，化为（x-a）（x-3a）＜0，解得x范围．由￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，即可得出．

解答 解：（1）命题p：a=1时，由$\frac{x-1}{x-3}$＜0，化为：（x-1）（x-3）＜0，解得1＜x＜3．
命题q：实数x满足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6＜0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$，
化为：$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）（x+2）＜0}\\{（x+4）（x-2）＞0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜3}\\{x＞2或x＜-4}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3．
∵p∧q为真，∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2＜x＜3}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3．
∴实数x的取值范围是（2，3）．
（2）由（1）可得：命题q：实数x满足：2＜x＜3．
命题p：实数x满足$\frac{x-a}{x-3a}$＜0，其中a＞0，化为（x-a）（x-3a）＜0，解得a＜x＜3a．
∵￢p是￢q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3≤3a}\end{array}\right.$，且等号不能同时成立，解得1≤a≤2．
∴实数a的取值范围是[1，2]．

点评 本题考查了不等式的解法、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．