Question

11．已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，有以下四个命题：
（1）以$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$、$\sqrt{c}$为边长的三角形一定存在；
（2）以a²，b²，c²为边长的三角形一定存在；
（3）以$\frac{a+b}{2}$，$\frac{b+c}{2}$，$\frac{c+a}{2}$为边长的三角形一定存在；
（4）以|a-b|+1，|b-c|+1，|c-a|+1为边长的三角形一定存在；
其中错误命题的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 三角形ABC的三边长分别为a，b，c，不妨设a≥b≥c，则b+c＞a．通过作差或平方作差，利用绝对值不等式的性质及其三角形三边大小关系即可判断出结论．

解答 解：三角形ABC的三边长分别为a，b，c，不妨设a≥b≥c，则b+c＞a．
（1）∵$（\sqrt{b}+\sqrt{c}）^{2}-（\sqrt{a}）^{2}$=b+c-a+2$\sqrt{bc}$＞0，∴$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$＞$\sqrt{a}$，∴以$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$、$\sqrt{c}$为边长的三角形一定存在；
（2）∵b²+c²-a²=（b+c）²-2bc-a²＞0，不一定成立，因此以a²，b²，c²为边长的三角形不一定存在；
（3）∵$\frac{b+c}{2}$+$\frac{a+c}{2}$-$\frac{a+b}{2}$=c＞0，因此以$\frac{a+b}{2}$，$\frac{b+c}{2}$，$\frac{c+a}{2}$为边长的三角形一定存在；
（4）∵|a-b|+1+|b-c|+1≥|a-c|+2＞|c-a|+1，∴以|a-b|+1，|b-c|+1，|c-a|+1为边长的三角形一定存在；
其中错误命题的个数为1个．
故选：B．

点评 本题考查了作差法、绝对值不等式的性质及其三角形三边大小关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．