Question

1．已知复数z=x+yi（x，y∈R）在复数平面上对应的点为M．
（1）若z+2i是实数，且|z|=2$\sqrt{5}$，求点M的坐标；
（2）设复数z满足|2z+15|=$\sqrt{3}$|$\overline{z}$+10|，且复数ω=6+8i在复平面上对应的点为N，求|MN|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由复数z=x+yi（x，y∈R），z+2i是实数，求出y的值，代入复数求模公式计算即可求出x的值，则点M的坐标可求；
（2）由已知条件结合复数求模公式计算得到点M的轨迹为以原点为圆心半径为$5\sqrt{3}$的圆，进一步求出|MN|的取值范围．

解答 解：（1）复数z=x+yi（x，y∈R），
则z+2i=x+（y+2）i是实数，∴y+2=0，即y=-2．
∴$|z|=\sqrt{{x}^{2}+（-2）^{2}}=2\sqrt{5}$，解得x=±4．
∴点M的坐标为（-4，-2）或（4，-2）；
（2）由|2z+15|=$\sqrt{3}$|$\overline{z}$+10|，
得$|（2x+15）+2yi|=\sqrt{3}|（x+10）-yi|$，
即x²+y²=75．
∴点M的轨迹为以原点为圆心半径为$5\sqrt{3}$的圆．
复数ω=6+8i在复平面上对应的点为N的坐标为：（6，8），
∴$10-5\sqrt{3}≤|MN|≤10+5\sqrt{3}$．
故|MN|的取值范围是：[$10-5\sqrt{3}$$，10+5\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数模的求法，是中档题．