Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（6，2），$\overrightarrow{b}$=（-3，k）．
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），求k的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$所成角θ是钝角，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，求出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，又$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），可得$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=0$，求解即可得答案；
（2）由$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$所成角θ是钝角，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}＜0$，除去使$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$共线的k值得答案．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（6，2），$\overrightarrow{b}$=（-3，k）．
得$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（9，2-k）$，
又∵$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
∴$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=0$，即6×9+2×（2-k）=0，解得k=29；
（2）∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$所成角θ是钝角，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-18+2k＜0$，得k＜9，
由$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，得6k+6=0，即k=-1．
∴k的取值范围是k＜9且k≠-1．

点评 本题考查了向量的夹角以及数量积的运算，是基础题．