Question

7．已知边长为3的等边三角形ABC的三个顶点都在以O为球心的球面上，若三棱锥O-ABC的体积为$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，则球的表面积为28π．

Answer 1

分析 由正弦定理求出等边三角形外接圆的半径，再利用三棱锥O-ABC的体积为$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，求出球半径，由此能求出球的表面积．

解答 解：设△ABC的外接圆的半径为r，
∵边长为3的等边三角形ABC的三个顶点都在以O为球心的球面上，
∴由正弦定理得$\frac{3}{sin60°}$=2r，解得r=$\sqrt{3}$，
设△ABC处接圆的圆心为O₁，则OO₁⊥平面ABC，
∴V_O-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×O{O}_{1}$=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×3×3×sin60°）×O{O}_{1}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
解得OO₁=2，
∴球O的半径R=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴球的表面积为S=4πR²=4π×7=28π．
故答案为：28π．

点评 本题考查球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．