Question

19．已知非零向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$和$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线．
（1）如果$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=3（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$），求证：A，B，D三点共线；
（2）欲使向量K$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$与$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+K$\overrightarrow{{e}_{2}}$平行，试确定实数K的值．

Answer 1

分析 （1）求出$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$=$5\overrightarrow{{e}_{1}}$-5$\overrightarrow{{e}_{2}}$=5（$\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}$）=5$\overrightarrow{AB}$，由此能证明A，B，D三点共线；
（2）由平面向量平行的性质得K$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ（$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+K$\overrightarrow{{e}_{2}}$），由此能求出K．

解答 证明：（1）∵非零向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$和$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线．
$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=3（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$=$5\overrightarrow{{e}_{1}}$-5$\overrightarrow{{e}_{2}}$=5（$\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}$）=5$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BD}$平行，
又$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BD}$有公共点B，∴A，B，D三点共线．
解：（2）∵非零向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$和$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线．
K$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$与$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+K$\overrightarrow{{e}_{2}}$平行，
∴K$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ（$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+K$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{K=\frac{λ}{4}}\\{1=Kλ}\end{array}\right.$，解得K=$±\frac{1}{2}$．

点评 本题考查三点共线的证明，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行的性质的合理运用．