Question

6．如图，设P是正方形ABCD内部的一点，P到顶点A，B，C的距离分别是1，2，3，求正方形的边长．

Answer 1

分析 设边长为x（1＜x＜3）在DABP中，cos$∠ABP=\frac{{x}^{2}+{2}^{2}-{1}^{2}}{4x}$=$\frac{{x}^{2}+3}{4x}$，在DCBP中，cos∠CBP=$\frac{{x}^{2}+{2}^{2}-{3}^{2}}{4x}$=$\frac{{x}^{2}-5}{4x}$，从而（$\frac{{x}^{2}+3}{4x}$）²+（$\frac{{x}^{2}-5}{4x}$）²=1，由此利用换元法能求出正方形的边长．

解答 解：设边长为x（1＜x＜3）
在DABP中，cos$∠ABP=\frac{{x}^{2}+{2}^{2}-{1}^{2}}{4x}$=$\frac{{x}^{2}+3}{4x}$，①
在DCBP中，cos∠CBP=$\frac{{x}^{2}+{2}^{2}-{3}^{2}}{4x}$=$\frac{{x}^{2}-5}{4x}$，②
①²+②²得（$\frac{{x}^{2}+3}{4x}$）²+（$\frac{{x}^{2}-5}{4x}$）²=1，
设x²=t，则1＜t＜9，得（t+3）²+（t-5）²=16t．
解得${t}_{1}=5+2\sqrt{2}$，${t}_{2}=5-2\sqrt{2}$，
综上所述，正方形的边长为$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$，或$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$．

点评 本题考查正方形边长的求法，考查余弦定理、三角形性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．