Question

2．某校甲、乙两支篮球队各选3名队员进行定点投篮比赛，规定每名队员投篮一次，投进得10分，未投进得0分，各队的3名队员得分之和为该队总分．已知甲队选出的3名队员投进的概率分别为$\frac{1}{2}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{3}{4}$，乙队选出的3名队员投进的概率均为$\frac{2}{3}$．设每名队员投进与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总分．
（1）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）．
（2）记“两队总分之和为40分且甲队总分不低于乙队总分”为事件A，求事件A的概率．

Answer 1

分析 （1）由题意ξ的可能取值为0，10，20，30，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及E（ξ）．
（2）记“两队总分之和为40分且甲队总分不低于乙队总分”为事件A，则事件A是指甲3投3中，乙3投1中或甲3投2中，乙3投2中，由此能求出事件A的概率．

解答 解：（1）由题意ξ的可能取值为0，10，20，30，
P（ξ=0）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{24}$，
P（ξ=10）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{6}{24}$，
P（ξ=20）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{11}{24}$，
P（ξ=30）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{6}{24}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	10	20	30
P	$\frac{1}{24}$	$\frac{6}{24}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{6}{24}$

E（ξ）=$0×\frac{1}{24}+10×\frac{4}{24}+20×\frac{11}{24}+30×\frac{6}{24}$=$\frac{3}{55}$．
（2）记“两队总分之和为40分且甲队总分不低于乙队总分”为事件A，
则事件A是指甲3投3中，乙3投1中或甲3投2中，乙3投2中，
∴事件A的概率：
P（A）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×{C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}$+（$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$）×${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}×（\frac{1}{3}）$=$\frac{7}{27}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式、n次独立重复事件中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．