Question

9．已知函数f（x）=e^ax-x，a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间即可；
（2）通过讨论a的范围，判断函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．

解答 解：函数的定义域是R，f′（x）=ae^ax-1，
（1）a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在R递减，
a＞0时，令f′（x）=0，解得：x=-$\frac{lna}{a}$，
故f（x）在（-∞，$\frac{-lna}{a}$）递减，在（-$\frac{lna}{a}$，+∞）递增；
（2）由（1）a≥1时，-$\frac{lna}{a}$≤0，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）没有最小值，
0＜a＜1时，当0＜a≤$\frac{1}{e}$时，-$\frac{lna}{a}$≥$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递减，在（0，$\frac{1}{a}$）没有最小值，
当$\frac{1}{e}$＜a＜1时，f（x）在（0，-$\frac{lna}{a}$）递减，在（-$\frac{lna}{a}$，$\frac{1}{a}$）递增，
故f（x）_min=f（-$\frac{lna}{a}$）=$\frac{lnea}{a}$，
综上，a≥1或0＜a≤$\frac{1}{e}$时，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上没有最小值，
当$\frac{1}{e}$＜a＜1时，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上有最小值为$\frac{lnea}{a}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．