Question

2．已知公差不为零的等差数列{a_n}满足a₁=1，a₂是a₁与a₅的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2^a_n，判断数列{b_n}是否为等比数列．如果是，求数列{b_n}的前n项和S_n，如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等差数列的通项公式，利用等比中项列出方程，求出数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）利用等比数列的定义即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），则由a₁=1得a₂=a₁+d=1+d；a₅=a₁+4d=1+4d．
因为a₂是a₁与a₅的等比中项，所以$a_2^2={a_1}•{a_5}$，
即（1+d）²=1+4d，
解得d=0（舍）或d=2，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）•d=2n-1．
（Ⅱ）由${b_n}={2^{a_n}}$，得：
（1）当n=1时，${b_1}={2^{a_1}}=2≠0$．
（2）当n≥2时，$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{{{2^{a_n}}}}{{{2^{{a_{n-1}}}}}}=\frac{{{2^{2n-1}}}}{{{2^{2n-3}}}}=4$．
故数列{b_n}为以2为首项，4为公比的等比数列，
则有${S_n}={b_1}•\frac{{1-{q^n}}}{1-q}=2•\frac{{1-{4^n}}}{1-4}=\frac{2}{3}×（{{4^n}-1}）$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的应用问题，也考查了等比中项的应用问题，是基础题目．