Question

18．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为${F_1}（{-2\sqrt{5}，0}）$，${F_2}（{2\sqrt{5}，0}）$，离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，那么双曲线C的渐近线方程是$y=±\frac{1}{2}x$；若点P为双曲线C右支上一点，则|PF₁|-|PF₂|=8．

Answer 1

分析 由题意和离心率公式求出a、c的值，由a、b、c的关系求出b，即可求出双曲线C的渐近线方程，再由双曲线的定义求出|PF₁|-|PF₂|的值．

解答 解：因为两个焦点分别为${F_1}（{-2\sqrt{5}，0}）$，${F_2}（{2\sqrt{5}，0}）$，离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
所以c=$2\sqrt{5}$，a=4，则b²=c²-a²=4，即b=2，
所以双曲线C的渐近线方程$y=±\frac{1}{2}x$；
由双曲线的定义得，|PF₁|-|PF₂|=2a=8，
故答案为：$y=±\frac{1}{2}x$；8．

点评 本题考查双曲线的简单性质，以及双曲线的定义，属于中档题．