Question

9．已知函数g（x）=2^x，且有g（a）g（b）=2，若a＞0且b＞0，则ab的最大值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由题意和指数的运算易得a+b=1，由基本不等式可得ab≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，注意等号成立的条件即可．

解答 解：∵函数g（x）=2^x，且有g（a）g（b）=2，
∴2=2^a•2^b=2^a+b，∴a+b=1，
∵a＞0且b＞0，∴ab≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
当且即当a=b=$\frac{1}{2}$时，ab取最大值$\frac{1}{4}$，
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及指数的运算，属基础题．