Question

19．在三棱柱P-ABC中，PA⊥底面ABC，PB=PC=$\sqrt{26}$，BC=4$\sqrt{2}$，PA=m（m＞0）
（Ⅰ）当m为何值时，点A到平面PBC的距离最大，并求出最大值；
（Ⅱ）当点A到平面PBC的距离取得最大值时，求二面角A-PB-C的大小的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC的中点D，连结AD、PD，过A作AE⊥PD于点E．通过线面垂直定理易得AE即为点A到平面PBC的距离，利用基本不等式计算即可；
（Ⅱ）当m=3时，以点A为原点建立坐标系，所求二面角的余弦值即为平面PBA的一个法向量与平面PBC的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．

解答 解：（Ⅰ）取BC的中点D，连结AD、PD，过A作AE⊥PD于点E．
∵PB=PC=$\sqrt{26}$，PA⊥底面ABC，∴PD为△PBC中BC边上的高，
∴△ABC为等腰三角形，从而AD为△ABC中BC边上的高，
易知AE⊥BC，又AE⊥PD，∴AE⊥平面PBC，
∴AE即为点A到平面PBC的距离，
∵PB=PC=$\sqrt{26}$，BC=4$\sqrt{2}$，PA=m（m＞0），
∴CD=$\frac{1}{2}BC$=$2\sqrt{2}$，PD=$\sqrt{P{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$3\sqrt{2}$，
AD=$\sqrt{P{D}^{2}-P{A}^{2}}$=$\sqrt{18-{m}^{2}}$，
∵$\frac{1}{2}PA•AD=\frac{1}{2}PD•AE$，
∴$AE=\frac{PA•AD}{PD}$=$\frac{m\sqrt{18-{m}^{2}}}{3\sqrt{2}}$≤$\frac{1}{3\sqrt{2}}•\frac{1}{2}[{m}^{2}+（18-{m}^{2}）]$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当m²=18-m²，即m=3时等号成立，
∴当m=3时，点A到平面PBC的距离最大，最大值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ）当点A到平面PBC的距离取得最大值，即m=3时，
有PA=3，AD=$\sqrt{18-9}$=3，AB=AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
如图，以点A为原点建立坐标系，则A（0，0，0），C（0，$\sqrt{17}$，0），P（0，0，3），
根据三角形面积的不同表示形式，易得得B（$\frac{12\sqrt{34}}{17}$，$\frac{\sqrt{17}}{17}$，0），
从而$\overrightarrow{AP}$=（0，0，3），$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{12\sqrt{34}}{17}$，$\frac{\sqrt{17}}{17}$，-3），$\overrightarrow{CP}$=（0，-$\sqrt{17}$，3），
设平面PBA的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3{z}_{1}=0}\\{\frac{12\sqrt{34}}{17}{x}_{1}+\frac{\sqrt{17}}{17}{y}_{1}-3{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{17}{y}_{2}+3{z}_{2}=0}\\{\frac{12\sqrt{34}}{17}{x}_{2}+\frac{\sqrt{17}}{17}{y}_{2}-3{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，
取${y}_{1}=\sqrt{2}$，x₂=1，可得平面PBA的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（$-\frac{1}{12}$，$\sqrt{2}$，0），平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{34}}{4}$），
$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\frac{1}{12}×1+\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{4}+0}{\sqrt{\frac{1}{144}+2}•\sqrt{1+\frac{9}{8}+\frac{17}{8}}}$=$\frac{2\sqrt{17}}{17}$，
∴二面角A-PB-C的大小的余弦值为$\frac{2\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查二面角，空间中点与面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．