Question

14．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，∠BAD=60°，E、E分别为BC、PA的中点．
（1）求证：ED⊥平面PAD；
（2）求三棱锥P-DEF的体积．

Answer 1

分析 （1）连结BD，证明DE⊥BC，DE⊥AD，然后证明DE⊥平面PAD．
（2）求解棱锥的底面面积与高，即可求解几何体的体积．

解答 （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（6分），第2小题满分（8分）．
（1）连结BD，由已知得△ABD与△BCD都是正三角形，
所以，BD=2，DE⊥BC，…（1分）
因为AD∥BC，所以DE⊥AD，…（2分）
又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥DE，…（4分）
因为AD∩PD=D，所以DE⊥平面PAD．…（6分）
（2）因为${S_{△PDF}}=\frac{1}{2}{S_{△PDA}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{2^2}=1$，…（2分）
且$DE=\sqrt{3}$，…（4分）
所以，${V_{P-DEF}}={V_{E-PDF}}=\frac{1}{3}{S_{△PDF}}•DE=\frac{1}{3}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．  …（8分）

点评 本题考查空间几何体的体积以及直线与平面垂直的判定定理的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．