Question

2．已知函数g（x）=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$cos2x+1，x∈R，函数f（x）与函数g（x）的图象关于原点对称．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）当$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$时，求函数f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用辅助角公式将函数g（x）进行化简，结合函数的对称轴即可求y=f（x）的解析式；
（2）当$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$时，结合三角函数的单调性即可求函数f（x）的取值范围．

解答 解：（1）设点（x，y）是函数y=f（x）的图象上任意一点，
由题意可知，点（-x，-y）在y=g（x）的图象上，
于是有$-y=\frac{1}{2}sin（-2x）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos（-2x）+1，x∈R$．
所以，$f（x）=\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-1$，x∈R．
（2）由（1）可知，$f（x）=\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-1=sin（2x+\frac{π}{3}）-1$．
又$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$，
所以，$-\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{4}{3}π$．
考察正弦函数y=sinx的图象，可知，$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x+\frac{π}{3}）≤1$，$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$．
于是，$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}-1≤sin（2x+\frac{π}{3}）-1≤0$．
所以，当$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$时，函数f（x）的取值范围是$-\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}≤f（x）≤0$．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角函数最值的求解，求出角的范围结合三角函数的单调性是解决本题的关键．