Question

8．已知函数f（x）=a（x+$\frac{1}{x}}$），（x＞0，a＞0），点P为函数y=f（x）图象上一动点．
（1）当a=2时，过点P分别向y轴及直线y=2x作垂线，垂足分别为点A，B，试计算线段PA，PB长度之积PA•PB的值；
（2）作曲线y=f（x）在点P处的切线l，记直线l与y轴及直线y=ax的交点分别为M，N，试计算线段PM，PN长度比值$\frac{PM}{PN}$．

Answer 1

分析 （1）设点P的坐标为$P（{{x_0}，2{x_0}+\frac{2}{x_0}}）$，则$A（{0，2{x_0}+\frac{2}{x_0}}）$，求出B的坐标，即可计算线段PA，PB长度之积PA•PB的值；
（2）确定点$P（{{x_0}，a{x_0}+\frac{a}{x_0}}）$为点$M（{0，\frac{2a}{x_0}}）$和点N（2x₀，2ax₀）的中点，即可计算线段PM，PN长度比值$\frac{PM}{PN}$．

解答 解：（1）当a=2时，$f（x）=2x+\frac{2}{x}$，
设点P的坐标为$P（{{x_0}，2{x_0}+\frac{2}{x_0}}）$，则$A（{0，2{x_0}+\frac{2}{x_0}}）$，…（1分）
依题意，${l_{PB}}：y=-\frac{1}{2}（{x-{x_0}}）+2{x_0}+\frac{2}{x_0}$，…（3分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}（{x-{x_0}}）+2{x_0}+\frac{2}{x_0}\\ y=2x\end{array}\right.$，得$B（{{x_0}+\frac{4}{{5{x_0}}}，2{x_0}+\frac{8}{{5{x_0}}}}）$，…（5分）
∴$PA={x_0}，PB=\sqrt{1+{{（{-\frac{1}{2}}）}^2}}|{（{{x_0}+\frac{4}{{5{x_0}}}}）-{x_0}}|=\frac{{2\sqrt{5}}}{{5{x_0}}}$，…（7分）
∴$PA•PB={x_0}•\frac{{2\sqrt{5}}}{{5{x_0}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$…（8分）
（2）设点P的坐标为$P（{{x_0}，a{x_0}+\frac{a}{x_0}}）$…（9分）
∵$f'（x）=a-\frac{a}{x^2}$，∴${k_{MN}}=f'（{x_0}）=a-\frac{a}{{{x_0}^2}}$，…（11分）
∴${l_{MN}}：y=（{a-\frac{a}{x_0^2}}）（{x-{x_0}}）+a{x_0}+\frac{a}{x_0}$，…（12分）
令x=0，得$M（{0，\frac{2a}{x_0}}）$，…（13分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=（{a-\frac{a}{x_0^2}}）（{x-{x_0}}）+a{x_0}+\frac{a}{x_0}\\ y=ax\end{array}\right.$，得N（2x₀，2ax₀），…（14分）
则点$P（{{x_0}，a{x_0}+\frac{a}{x_0}}）$为点$M（{0，\frac{2a}{x_0}}）$和点N（2x₀，2ax₀）的中点，…（15分）
所以$\frac{PM}{PN}=1$…（16分）

点评 本题考查直线与直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．