Question

19．已知$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{2}{3}$，n+1），$\overrightarrow{b}$=（S_n，n）且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，其中S_n是数列{a_n}的前n项和$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}•{a}_{n+9}}$的最大值为$\frac{1}{48}$．

Answer 1

分析 由向量$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，根据向量的乘法，求得S_n=$\frac{3}{2}$n（n+1），当n≥2时，S_n=$\frac{3}{2}$n（n-1），两式相减求得a_n=3n，代入$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}•{a}_{n+9}}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{n+\frac{9}{n}+10}$≤$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2\sqrt{n•\frac{9}{n}}+10}$，当且仅当n=$\frac{9}{n}$，即n=3，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}•{a}_{n+9}}$取最大值．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{2}{3}$，n+1），$\overrightarrow{b}$=（S_n，n），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴-$\frac{2}{3}$•S_n+（n+1）•n=0，
S_n=$\frac{3}{2}$n（n+1），
当n=1时，S₁=$\frac{3}{2}$×2=3，
当n≥2时，S_n=$\frac{3}{2}$n（n-1），
两式相减得：a_n=3n，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}•{a}_{n+9}}$=$\frac{3n}{3（n+1）•3（n+9）}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{n}{{n}^{2}+10n+9}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{n+\frac{9}{n}+10}$≤$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2\sqrt{n•\frac{9}{n}}+10}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2×3+10}$=$\frac{1}{48}$，
当且仅当n=$\frac{9}{n}$，即n=3，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}•{a}_{n+9}}$的最大值$\frac{1}{48}$．

点评 本题考查数列的通项公式，考查向量数量积的坐标表示，向量垂直，基本不等的应用，考查计算能力，属于中档题．