Question

14．已知二次函数y=f（x）满足条件f（0）=$\frac{1}{2}$m，f（x+1）-f（x-1）=4x-2m．（m为已知实数）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）如果函数y=f（x）的图象与x轴的两个不同交点在区间（0，4）内，求实数m的取值范围；
（3）当函数y=f（x）的图象与x轴有两个交点时，这两个交点能否在点（$\frac{1}{2}$，0）的两旁？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由$f（0）=\frac{1}{2}m$，可设$f（x）=a{x^2}+bx+\frac{m}{2}$，结合f（x+1）-f（x-1）=4x-2m，列式得到a，b与m的关系，则函数解析式可求；
（2）由“三个二次”结合列关于m的不等式组，求解不等式组得答案；
（3）由抛物线开口向上且f（$\frac{1}{2}$）＞0，可得当函数y=f（x）的图象与x轴有两个交点时，这两个交点不可能在点（$\frac{1}{2}$，0）的两旁．

解答 解：（1）由$f（0）=\frac{1}{2}m$，可设$f（x）=a{x^2}+bx+\frac{m}{2}$，
则f（x+1）=ax²+（2a+b）x+a+b+$\frac{m}{2}，f（x-1）=a{x^2}+（-2a+b）x+a-b+\frac{m}{2}$．
由f（x+1）-f（x-1）=4x-2m，得4ax+2b=4x-2m．
∴$a=1，b=-m，f（x）={x^2}-mx+\frac{1}{2}m$；
（2）∵抛物线$f（x）={x^2}-mx+\frac{1}{2}m$与x轴的两个交点在区间（0，4）内，
∴由图象知m应满足$\left\{\begin{array}{l}△={m^2}-2m＞0\\ 0＜\frac{m}{2}＜4\\ f（0）=\frac{1}{2}m＞0\\ f（4）=16-4m+\frac{1}{2}m＞0.\end{array}\right.$，解得$2＜m＜\frac{32}{7}$．
∴m的取值范围为$（2，\frac{32}{7}）$；
（3）抛物线$f（x）={x^2}-mx+\frac{1}{2}m$开口向上，又$f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}＞0$，
∴由抛物线的图象可知，当y=f（x）的图象与x轴有两个交点时，这两个交点不可能落在点$（\frac{1}{2}，0）$的两旁．

点评 本题考查抽象函数及其应用，训练了利用待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及其性质是解答此题的关键，是中档题．