Question

20．已知函数f（x）=e^2ax（a∈R）的图象C在点P（1，f（1））处切线的斜率为e，记奇函数g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的图象为l．
（1）求实数a，b的值；
（2）当x∈（-1，2）时，图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围；
（3）若图象C与l有两个不同的交点A，B，其横坐标分别是x₁，x₂，设x₁＜x₂，求证：x₁•x₂＜1．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据函数的奇偶性求出b的值即可；
（2）根据?x∈（-1，2），e^x＞kx恒成立，得到关于k的不等式，记$h（x）=\frac{e^x}{x}，x∈（{-1，0}）∪（{0，2}）$，根据函数的单调性求出k的范围即可；
（3）要证x₁x₂＜1，即证$\sqrt{t}\frac{lnt}{t-1}＜1$，令$μ=\sqrt{t}（{μ＞1}）$，即证2μlnμ＜μ²-1⇒2μlnμ-μ²+1＜0，令φ（μ）=2μlnμ-μ²+1（μ＞1），根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）∵f'（x）=2ae^2ax，
∴$f'（1）=2a{e^{2a}}=e⇒a=\frac{1}{2}$，…[（2分）]
∵g（x）=kx+b为奇函数，∴b=0；…[（4分）]
（2）由（1）知f（x）=e^x，g（x）=kx，…[（5分）]
因为当x∈（-1，2）时，图象C恒在l的上方，
所以?x∈（-1，2），e^x＞kx恒成立，…[（6分）]
∵x=0时，k∈R，
∴$当x≠0时，有\left\{\begin{array}{l}k＜\frac{e^x}{x}，x∈（{0，2}）\\ k＞\frac{e^x}{x}，x∈（{-1，0}）\end{array}\right.成立$，…[（7分）]
记$h（x）=\frac{e^x}{x}，x∈（{-1，0}）∪（{0，2}）$，
则$h'（x）=\frac{x-1}{x^2}{e^x}$，由h'（x）＞0⇒x∈（1，2），
∴h（x）在（-1，0）单调减，在（0，1]单调减，在[1，2）单调增，…[（8分）]∴$当x∈（{-1，0}）时，h（x）∈（{-∞，-\frac{1}{e}}），当x∈（{0，2}）时，h（x）∈[{e，+∞}）$，
∵$\left\{\begin{array}{l}k＜\frac{e^x}{x}，x∈（{0，2}）\\ k＞\frac{e^x}{x}，x∈（{-1，0}）\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}k＜e\\ k≥-\frac{1}{e}\end{array}\right.⇒k∈[{-\frac{1}{e}，e}）$，…[（9分）]
综上，所求实数k的取值范围是$[{-\frac{1}{e}，e}）$；…[（10分）]
（3）由（2）知0＜x₁＜1＜x₂，设x₂=tx₁（t＞1），…[（11分）]
∵${e^{x_1}}=k{x_1}，{e^{x_2}}=k{x_2}$，
∴${e^{{x_2}-{x_1}}}=\frac{x_2}{x_1}⇒{e^{（{t-1}）{x_1}}}=t$，…[（12分）]
$（{t-1}）{x_1}=lnt⇒{x_1}=\frac{lnt}{t-1}$，∴${x_1}{x_2}=tx_1^2=t{（{\frac{lnt}{t-1}}）^2}$，…[（13分）]
要证x₁x₂＜1，即证$\sqrt{t}\frac{lnt}{t-1}＜1$，令$μ=\sqrt{t}（{μ＞1}）$，
即证2μlnμ＜μ²-1⇒2μlnμ-μ²+1＜0，
令φ（μ）=2μlnμ-μ²+1（μ＞1），
即证φ（μ）＜0，$φ'（μ）=2lnμ-2μ+2⇒φ''（μ）=\frac{2}{μ}-2=\frac{{2（{1-μ}）}}{μ}$，
∵μ＞1，∴φ''（μ）＜0，∴φ'（μ）在（1，+∞）上单调减，
∴φ'（μ）＜φ'（1）=0，∴φ（μ）在（1，+∞）上单调减，
∴φ（μ）＜φ（1）=0，
所以，x₁•x₂＜1…[（16分）]

点评 本题考查了函数的单调性、最值、奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想、换元思想，考查不等式的证明，是一道综合题．