Question

【题目】已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，实轴长为2，直线l：x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，
（1）求双曲线C的方程；
（2）若线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值；
（3）若线段AB的长度为4 ，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，得 = ，2a=2，又因为c2=a2+b2

解得a=1，c= ，

∴b2=c2﹣a2=2

∴所求双曲线C的方程为x2﹣ =1

（2）解：设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），

由 得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0，判别式△＞0，

∴x0= =m，y0=x0+m=2m，

∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=5上，

∴m2+（2m）2=5，

∴m=±1

（3）解：由 = = = = =4

解得m=±2

所以直线l的方程为x﹣y+2=0或x﹣y﹣2=0

【解析】（1）根据双曲线的离心率和和实轴长即可求出a，b的值，问题得以解决，（2）设A、B两点的坐标分别为（x1 ， y1），（x2 ， y2），线段AB的中点为M（x0 ， y0），根据点M（x0 ， y0）在圆x2+y2=5上，即可求出m的值，（3）根据弦长公式即可求出m的值．