Question

若△ABC的三个内角A，B，C所对的边a，b，c满足a+c=2b，则称该三角形为“中庸”三角形．已知△ABC为“中庸”三角形，给出下列结论：
①

a

c

∈（

1

2

，2）；
②

1

a

+

1

c

≥

2

b

；
③B≥

π

3

；
④若

AB

2=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

，则sinB=

4

5

．
其中正确结论的序号是

 

．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：①由|a-c|＜b＜a+c，可得|a-c|＜

a+c

2

＜a+c，解得

a

c

＞

1

3

或

c

a

＞

1

3

．因此

a

c

∈（

1

2

，2）不正确；
②由a+c=2b，利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出

1

a

+

1

c

=

1

2b

(a+c)(

1

a

+

1

c

)=

1

2b

(2+

a

c

+

c

a

)；
③由余弦定理和基本不等式的性质可得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

6ac-2ac

8ac

=

1

2

，再利用余弦函数的单调性即可得出；
④若

AB

2=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

，利用数量积的性质可得c²=cb•cosA+ca•cosB+ba•cosC，
再利用余弦定理可得：2c²=c²+b²-a²+c²+a²-b²+a²+b²-c²，化为c²=a²+b²，即可得出．

解答： 解：①∵|a-c|＜b＜a+c，∴|a-c|＜

a+c

2

＜a+c，解得

a

c

＞

1

3

或

c

a

＞

1

3

．
因此

a

c

∈（

1

3

，3）不正确；
②∵a+c=2b，∴

1

a

+

1

c

=

1

2b

(a+c)(

1

a

+

1

c

)=

1

2b

(2+

a

c

+

c

a

)≥

1

2b

(2+2

a c • c a

)=

2

b

，当且仅当a=c=b时取等号，因此正确；
③由余弦定理可得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

6ac-2ac

8ac

=

1

2

，当且仅当a=c时取等号，
∵B∈（0，π），∴0＜B≤

π

3

，因此③不正确；
④若

AB

2=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

，则c²=cb•cosA+ca•cosB+ba•cosC，
由余弦定理可得：2c²=c²+b²-a²+c²+a²-b²+a²+b²-c²，
化为c²=a²+b²，∴C=90°．∴c2=a2+(

a+c

2

)2，化为3c²-2ac-5a²=0，解得

c

a

=

5

3

．
∴

c

b

=

5

4

．∴sinB=

b

c

=

4

5

．因此正确．
故答案为：②④．

点评：本题综合考查了三角形的三边大小关系、余弦定理、基本不等式的性质、直角三角形的边角关系、数量积运算性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．