Question

已知存在x∈（0，

1

2

）使不等式（2-a）（x-1）-x²＜0成立，则a的最大值为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：转化不等式一侧为a，另一侧为x的表达式，构造函数，通过求解函数的最值即可得到a的最大值，

解答： 解：x∈（0，

1

2

），不等式（2-a）（x-1）-x²＜0，化为2-a＞

x2

x-1

，令f（x）=

x2

x-1

，以下求解f（x）在x∈（0，

1

2

）上的最小值．
f（x）=

x2

x-1

=

x2-1+1

x-1

=x+1+

1

x-1

=x-1+

1

x-1

+2，
x∈（0，

1

2

），x-1∈（-1，-

1

2

），
f（x）=x-1+

1

x-1

+2=-（1-x+

1

1-x

）+2，
由基本不等式以及双钩函数可知，x∈（0，

1

2

）时函数是减函数，
可得f（x）∈（-

1

2

，0），
则2-a≥-

1

2

，可得a≤

5

2

．
故答案为：

5

2

．

点评：本题考查存在性问题，考查解不等式，解题的关键是构建函数，利用函数思想进行求解．