Question

9．某公司为感谢全体员工的辛勤劳动，决定在年终答谢会上，通过摸球方式对全公司1000位员工进行现金抽奖．规定：每位员工从装有4个相同质地球的袋子中一次性随机摸出2个球，这4个球上分别标有数字a、b、c、d，摸出来的两个球上的数字之和为该员工所获的奖励额X（单位：元）．公司拟定了以下三个数字方案：

方案	a	b	c	d
一	100	100	100	500
二	100	100	500	500
三	200	200	400	400

（Ⅰ）如果采取方案一，求X=200的概率；
（Ⅱ）分别计算方案二、方案三的平均数$\overline{X}$和方差s²，如果要求员工所获的奖励额相对均衡，方案二和方案三选择哪个更好？
（Ⅲ）在投票选择方案二还是方案三时，公司按性别分层抽取100名员工进行统计，得到如下不完整的2×2列联表．请将该表补充完整，并判断能否有90%的把握认为“选择方案二或方案三与性别有关”？

	方案二	方案三	合计
男性	12	48	60
女性	6	34	40
合计	18	82	100

附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05
k0	2.072	2.706	3.841

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定基本事件的个数，即可求X=200的概率；
（Ⅱ）求出相应的方差，即可得出结论；
（Ⅲ）计算K²，与临界值比较，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）从a、b、c、d中取两个，共有ab、ac、ad、bc、bd、cd 这6个基本事件…（1分）
采取方案一，设X=200为事件A，它包含ab、ac、bc这3个基本事件
由于每个基本事件都是等可能的，所以$P（A）=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$…（3分）
（Ⅱ）依题意，求数据ab、ac、ad、bc、bd、cd的平均数$\overline{X}$和方差s²．${\overline{X}}_{2}=\frac{200+600+600+600+600+1000}{6}=600$，…（4分）${s}_{2}^{2}=\frac{1}{6}[{（200-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（1000-600）}^{2}]=\frac{160000}{3}$，…（5分）
${\overline{X}}_{3}=\frac{400+600+600+600+600+800}{6}=600$，…（6分）${s}_{3}^{2}=\frac{1}{6}[{（400-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（800-600）}^{2}]=\frac{40000}{3}$，…（7分）
${\overline{X}}_{2}={\overline{X}}_{3}$，${s}_{2}^{2}＞{s}_{3}^{2}$，方案三的方差较小，相对均衡，选择方案三较好．…（8分）
（Ⅲ）

	二	三	合计
男性	12	48	60
女性	6	34	40
合计	18	82	100

…（9分）
直接计算得，${K}^{2}=\frac{100{（12×34-6×48）}^{2}}{60×40×18×82}≈0.407$，K²＜2.706，…（11分）
所以不能以（1-P（K²≥2.706））×100%=90%的把握认为选择方案二或三与性别有关．…（12分）

点评 本题考查概率的计算，考查统计知识，考查独立性检验知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．