Question

8．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$），x∈R．
（I）求函效f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]时，方程f（x）=k恰有两个不同的实数根．求实数k的取值范围；
（3）将函数f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$）的图象向右平移m（m＞0）个单位后所得函数g（x）的图象关于原点中心对称，求m的最小值．

Answer 1

分析 （I）由条件利用余弦函数的周期性、单调性得出结论．
（2）根据余弦函数的图象，数形结合可得k的范围．
（3）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得m的最小正值．

解答 解：（I）对于函数f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$），它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-π≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（2）当x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]时，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]，结合f（x）的图象，
可得方程f（x）=k恰有两个不同的实数根时，
f（x）的图象和直线y=k有2个交点，数形结合求得求实数0≤k＜$\sqrt{2}$．

（3）将函数f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$）的图象向右平移m（m＞0）个单位后，
所得函数g（x）=$\sqrt{2}$cos（2x-2m-$\frac{π}{4}$）的图象关于原点中心对称，
∴2m+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即 m=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z，
故m的最小值为$\frac{π}{8}$．

点评 本题主要考查余弦函数的周期性、单调性，余弦函数的图象特征，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．