Question

设函数f（x）=

ex

1+ax

，其中a为正实数，若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：导数的综合应用

分析：求函数的导数，利用函数为单调函数，单调函数的f′（x）≥0或f'（x）≤0恒成立即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=

ex

1+ax

，
∴f′（x）=

ex(1+ax-axln?a)

(1+ax)2

，
要使f（x）为R上的单调函数，则f（x）为R上的单调增函数，或f（x）为R上的单调减函数；
①若f（x）为R上的单调增函数，
则f′（x）=

ex(1+ax-axln?a)

(1+ax)2

≥0恒成立，
即1+a^x-a^xlna≥0，
∴lna≤

1+ax

ax

=1+

1

ax

，
∴lna≤1，解得0＜a≤e；
②若若f（x）为R上的单调减函数，
则f′（x）=

ex(1+ax-axln?a)

(1+ax)2

≤0恒成立，
即1+a^x-a^xlna≤0，
∴lna≥

1+ax

ax

=1+

1

ax

，
此时不可能恒成立，
综上0＜a≤e．

点评：本题主要考查导数和函数单调性之间的关系，考查学生的计算能力．