Question

7．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F、H分别是BC、PC、PD的中点．   
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若AB=1，且AF=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求多面体AEFH的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由四边形ABCD为棱形，∠ABC=60°，知△ABC是等边三角形，由E是BC的中点，知AE⊥BC，由BC∥AD，知AE⊥AD，由PA⊥平面ABCD，知PA⊥AE，由此能够证明AE⊥PD．
（Ⅱ）连结AC，则PA⊥AC，根据直角三角形的性质求出PC，PA，取AD中点G，则HG=$\frac{1}{2}$PA，FH=$\frac{1}{2}$CD，由HG⊥平面ABCD可得HG⊥CD，从而HG⊥FH，过A作AM⊥EG，则AM⊥平面EFHG，AM为等边三角形ACD的高的一半，代入体积公式即可求出棱锥的体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为棱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，
又∵BC∥AD，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，
∵PA?平面PAD，AD?平面PAD，且PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD，
又∵PD?平面PAD，∴AE⊥PD；
（Ⅱ）解：∵AB=1，∴AC=AD=BC=CD=1，∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC，
∵F是PC的中点，∴PC=2AF=$\sqrt{2}$，∴PA=$\sqrt{P{C}^{2}-A{C}^{2}}$=1．
取AD中点G，连结HG，EG，
则FH∥EG，FH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$，HG∥PA，HG=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{1}{2}$．
∵PA⊥平面ABCD，
∴HG⊥平面ABCD，∴HG⊥EG，∴HG⊥FH，
∴S_△EFH=$\frac{1}{2}$FH•HG=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$．
过点A作AM⊥EG，垂足为M，则AM=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
又AM⊥HG，∴AM⊥平面EFHG，
∴V_A-EFH=$\frac{1}{3}$S_△EFH•AM=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{8}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{96}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用，是中档题．