Question

1．设函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=$\frac{3}{2}$，b+c=2，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由周期公式即可得解；
（2）由（1）可得sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，结合A的范围可求A．由余弦定理，解得a²=（b+c）²-3bc，由b+c=2知bc的最大值，从而可求a的最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}$=π．…（6分）
（2）∵f（$\frac{A}{2}$）=sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，由A∈（0，π），可得A=$\frac{π}{3}$．
在△ABC中，由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$=（b+c）²-3bc，
由b+c=2知bc≤（$\frac{b+c}{2}$）²=1，当b=c=1时bc取最大值，此时a取最小值1．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，属于基本知识的考查．