Question

13．已知集合A={y|y=x²-$\frac{3}{2}$x+1，x∈[$\frac{3}{4}$，2]}，B={x|x+m²≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 先求二次函数$y={x}^{2}-\frac{3}{2}x+1$在区间[$\frac{3}{4}$，2]上的值域，从而解出集合A，在解出集合B，根据“x∈A”是“x∈B”的充分条件即可得到关于m的不等式，从而解不等式即得实数m的取值范围．

解答 解：y=${x}^{2}-\frac{3}{2}x+1=（x-\frac{3}{4}）^{2}+\frac{7}{16}$；
该函数在[$\frac{3}{4}，2$]上单调递增，x=2时，y=2；
∴$A=\{y|\frac{7}{16}≤y≤2\}$，B={x|x≥1-m²}；
∵x∈A是x∈B的充分条件；
∴$1-{m}^{2}≤\frac{7}{16}$；
解得m$≤-\frac{3}{4}$，或m$≥\frac{3}{4}$；
∴实数m的取值范围为$（-∞，-\frac{3}{4}]∪[\frac{3}{4}，+∞）$．

点评 考查二次函数在闭区间上的值域的求法，描述法表示集合，以及充分条件的概念，解一元二次不等式．