Question

2．已知非负实数满足x+y+z=1，则2xy+yz+2zx的最大值为$\frac{4}{7}$．

Answer 1

分析 正数x，y，z满足x+y+z=1，可得x=1-（z+y）＞0，解得0＜y+z＜1.2xy+yz+2zx=yz+2[1-（z+y）]（y+z）
≤$\frac{（z+y）^{2}}{4}$-2（z+y）²+2（z+y）=-$\frac{7}{4}$[（y+z）-$\frac{16}{49}$]²+$\frac{4}{7}$，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵正数x，y，z满足x+y+z=1，可得x=1-（z+y）＞0，解得0＜y+z＜1．
∴2xy+yz+2zx=yz+2[1-（z+y）]（y+z）
≤$\frac{（z+y）^{2}}{4}$-2（z+y）²+2（z+y）=-$\frac{7}{4}$[（y+z）-$\frac{16}{49}$]²+$\frac{4}{7}$，
当x+y=$\frac{16}{49}$时，取等号．
∴2xy+yz+2zx的最大值为$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题